Natürliche Zahlen
Die natürlichen Zahlen ist die bekannteste Zahlenmenge.
Wir verwenden sie zum Zählen, Ordnen und Nummerieren.
Die natürlichen Zahlen werden definiert als ganze positive Zahlen. Definieren bedeutet, dass wir diesen Zahlen einen Namen und ein Zeichen geben, nämlich das IN.
IN Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3,...}
Üblicherweise gehört die Null nicht zur Menge der natürlichen Zahlen.
Um die Null mit in die Menge aufzunehmen, verwenden wir folgende Schreibweise:
IN0 Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0, 1, 2, ...}
Dezimalsystem
Wenn wir im Alltag oder im Unterricht Zahlen verwenden, sind es bisher meistens Zahlen aus einem bestimmten Zahlensystem, dem Dezimalsystem, das auch Zehnersystem heißt.
Alle Zahlen des Dezimalsystems werden mit Hilfe der bekannten zehn verschiedenen Zeichen gebildet, die Ziffern genannt werden; da sie aus Arabien stammen, nennt man sie auch arabische Ziffern.
Hier sind noch mal alle zehn Ziffern, die zum Bilden der Zahlen zur Verfügung stehen:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zunächst ist es ganz einfach: Die zehn Zahlen von null bis neun können wir leicht mit Hilfe der zehn arabischen Ziffern schreiben, indem wir für die Zahl 0 die Ziffer 0 schreiben, für die Zahl 1 die Ziffer 1, … und schließlich für die Zahl 9 die Ziffer 9 schreiben. Du merkst, dass alle zehn Zeichen sowohl als Ziffern als auch als Zahlen bezeichnet werden können.
Möchten wir nun eine Zahl schreiben, deren Wert größer als 9 ist, müssen wir uns etwas einfallen lassen. Glücklicherweise hat jemand vor vielen Jahren bereits eine zündende Idee gehabt: es ist erlaubt, mehrere Ziffern zu benutzen, wenn wir eine Zahl schreiben möchten, deren Wert größer als neun ist und wir dürfen dabei auch jede Ziffer mehrfach benutzen. Die zehn Zahlen von null bis neun bekamen einen Namen, man nannte sie Einer.
Die nächst größere Zahl nach der neun nannte man zehn und schrieb 10, was soviel hieß wie: ich habe einen Zehner und keinen, also null Einer. Dann war klar, die nächst größere Zahl bedeutet: einen Zehner und einen Einer, also 11 usw.! So zählte man die Anzahl der Zehner und die Anzahl der Einer und setzte diese beiden Anzahlen als Ziffern hintereinander, zuerst die Zehner und dann die Einer. Damit hatte man die Zahlen von der null (0) bis zur neunundneunzig (99)!
Die nächst größere Zahl nach der neunundneunzig nannte man hundert und schrieb 100, was bedeutete: einen Hunderter und null Zehner und null Einer. Damit waren die Zahlen bis 999 klar definiert.
Die nächst größere Zahl nach der neunhundertneunundneunzig nannte man tausend und schrieb 1000, was bedeutete: einen Tausender und null Hunderter und null Zehner und null Einer. Damit waren die Zahlen bis 9999 klar definiert.
Du siehst, es kommt auf die Stelle in einer Zahl an, an der eine Ziffer steht, um deren Bedeutung zu verstehen.
Und noch etwas:
Ein Zehner (Z) ist das 10- fache eines Einers (E).
Ein Hunderter (H) ist das 10-fache eines Zehners.
Ein Tausender (T) ist das 10-fache eines Hunderters.
Die fünfte Stelle von rechts, also das 10- fache von einem Tausender, heißt Zehntausender (ZT) Stelle.
Die sechste Stelle von rechts, also das 10-fache von einem Zehntausender, heißt Hunderttausender (HT) Stelle.
Die siebte Stelle von rechts, also das 10- fache von einem Hunderttausender, heißt Million (Mio) Stelle.
Die achte Stelle von rechts, also das 10-fache von einer Million, heißt Zehn-Millionen (ZMio) Stelle.
Die neunte Stelle von rechts, also das 10-fache von Zehn-Millionen, heißt Hundert-Millionen (HMio) Stelle.
Die zehnte Stelle von rechts, also das 10-fache von Hundert-Millionen, heißt Milliarde (Mrd) Stelle.
Die elfte Stelle von rechts, also das 10- fache von einer Milliarde, heißt Zehn-Milliarden (ZMrd) Stelle.
Die zwölfte Stelle von rechts, also das 10-fache von Zehn-Milliarden, heißt Hundert-Milliarden (HMrd) Stelle.
Die dreizehnte Stelle von rechts, also das 10-fache von Hundert-Milliarden, heißt Billion (Bio) Stelle.
Die vierzehnte Stelle von rechts, also das 10-fache von einer Billion, heißt Zehn-Billionen (ZBio) Stelle.
Die fünfzehnte Stelle von rechts, also das 10-fache von Zehn- Billion, heißt Hundert-Billionen (HBio) Stelle.
Dieses so beschriebene Zahlensystem hat – nun verständlicherweise – den Namen Zehnersystem oder Dezimalsystem bekommen.
Um eine gute Übersicht der vielen Stellen und deren Bedeutungen zu erhalten, stellte man eine Tabelle auf und nannte diese eine Stellenwerttafel.
Stellenwerttafel
Zahlen werden in einem Stellenwertsystem mit Hilfe von Ziffern dargestellt.
Beispiel.: 235 = 2·102+3·101+5·10 (Dezimalsystem)
Wollte man den Wert zum Beispiel der Zahl 52695732743184 wissen, so trug man diese Zahl in
die Stellenwerttafel ein und erhielt
also die Zahl: zweiundfünfzig Billionen sechshundertfünfundneunzig Milliarden siebenhundertzweiunddreißig Millionen siebenhundertdreiundvierzigtausendeinhundertvierundachtzig !
Mit etwas Übung und einem Trick kannst Du bald die Zahl 52695732743184 auch ohne die Stellenwerttafel lesen.
Der Trick ist, dass Du Deine Zahl, wenn Du sie in Deinen Unterlagen aufschreibst, von rechts her in Dreierpäckchen einteilst.
Das bedeutet, dass Du die Zahl 52695732743184 so 52 695 732 743 184 aufschreibst.
Mathematische Begriffe
| Beispiel: | Bedeutung: |
| 17 + 13 = 30 | gleich |
| 2·5+5 ≠ 20 | ungleich |
| 3·4 > 2.5 | größer |
| 4+5 < 12 | kleiner |
| 3·x ≥ 9 | grösser oder gleich |
| 4·x ≤ 12 | kleiner oder gleich |
| 13 < x < 20 | liegt zwischen (14,15,16,17,18,19) |
| 13 ≤ x ≤ 20 | liegt zwischen (13,14,15, ... ,19,20) |
| a, b, c, ... , x, y, z | Platzhalter, Variablez.B.: 7 + x = 10 => x = 3 |
| 1,2,3,4,5,6,7,8,9,... | natürliche Zahlen |
| 1,2,3,4,6,12 | Teiler von 12 |
| 4,8,12,16,20,... | Vielfache von 4 |
| 1,4,9,16,25, ... | Quadratzahlen (sie entstehen, wenn eine nat. Zahl mit sich selbst multipliziert wird)z.B.: x = 9 => x2 = 81 |
| 2,3,5,7,11,13,17,... | Primzahlen haben genau 2 Teiler |
| 3,8,13,18,23,28,... | Zahlen mit 5er-Rest 3 (bei der Division durch 5 haben sie den Rest 3)z.B.: 13 : 5 = 2 R 3 |
Begriffe Operation und Term
| Merk-Beispiel zu den Begriffen "Operation" und "Term": 17 - 9 kann bedeuten ... ... als Operation (Was ist zu tun?): "Subtrahiere 9 von 17" ... als Term (Was ist ... oder wie heisst...?) : "17 - 9" ist eine Differenz |
Addition
“25 zu 30 addieren”
| 30 1. Summand | +plus | 25 2. Summand | =gleich | 55 (ausgerechnete) Summe |
Die Operation heißt Addition. Der Term (Rechenausdruck) “30 + 25” heißt Summe.
Man sagt:
„Zu 30 wird 25 addiert, man erhält 55“ oder
„Man addiert zu 30 25 und erhält 55“ oder
„Die Summe von 30 und 25 hat den Wert 55“ oder
„Man berechnet die Summe von 30 und 25 und erhält 55“
Beachte, dass nach dem Schlüsselwort 'zu' der 1.Summand steht.
| Das Vertauschungsgesetz der Addition (Kommutativgesetz)Beispiel: 7 + 4 = 4 + 7 Das Vertauschungsgesetz gilt nicht für die Subtraktion:allgemein: a + b = b + a 7 - 4 ¹ 4 - 7, denn 4 - 7 = -3! |
| Das Zusammenfassungsgesetz der Addition (Assoziativgesetz)Beispiel: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) Das Zusammenfassungsgesetz gilt nicht für die Subtraktion:allgemein: (a + b) + c = a + (b + c) (20 - 7) - 5 ¹ 20 - (7 - 5), denn 8 ¹ 18 |
Subtraktion
“30 von 55 subtrahieren”
| 55 Minuend | -minus | 30 Subtrahend | =gleich | 25 (ausgerechnete) Differenz |
Die Operation heißt Subtraktion. Der Term (Rechenausdruck) “55 - 30” heißt Differenz.
Man sagt:
„Von 55 wird 30 subtrahiert, man erhält 25“ oder
„Man subtrahiert von 55 30 und erhält 25“ oder
„Die Differenz von 55 und 30 hat den Wert 25“ oder
„Man berechnet die Differenz von 55 und 30 und erhält 25“
Beachte, dass nach dem Schlüsselwort 'von' der Minuend, d.h. die erste Zahl steht.
Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion
wenn a + b = c dann a = c - b und b = c - a
Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition.
| Merke für die Strichoperationen: - Kommen in einem Term (Rechenausdruck) nur Strichoperationen vor, so werden sie von links nach rechts ausgeführt. - Klammern geben an, was zuerst gerechnet werden muss. - Umordnen von Gliedern kann Rechenvorteile bringen! - Das Operationszeichen links der Zahl muss beim Umordnen mitgenommen werden. Mehrere negative Glieder können als Summe subtrahiert werden. |
Multiplikation
“18 mit 11 multiplizieren”
| 18 1. Faktor | ·mal | 11 2. Faktor | =gleich | 198 (ausgerechnetes) Produkt |
Die Operation heißt Multiplikation. Der Term (Rechenausdruck) “18 · 11” heißt Produkt.
Man sagt:
„18 wird mit 11 multipliziert, man erhält 198“ oder
„Man multipliziert 18 mit 11 und erhält 198“ oder
„Das Produkt von 18 und 11 hat den Wert 198“ oder
„Man berechnet das Produkt von 18 und 11 und erhält 198“
Beachte, dass nach dem Schlüsselwort 'mit' der 2.Faktor steht.
Division
“200 durch 5 dividieren”
| 200 Divident | :durch | 5 Divisor | =gleich | 40 (ausgerechneter) Quotient |
Die Operation heißt Division. Der Term (Rechenausdruck) “18 · 11” heißt Quotient.
Man sagt:
„200 wird durch 5 dividiert, man erhält 40“ oder
„Man dividiert 200 durch 5 und erhält 40“ oder
„Der Quotient von 200 und 5 hat den Wert 40“ oder
„Man berechnet den Quotienten von 200 und 5 und erhält 40“
Beachte, dass nach dem Schlüsselwort 'durch' der Divisor, d.h. die zweite Zahl steht.
Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division
Wenn a · b = c dann a = c : b und b = c : a
Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.
Das Vertauschungsgesetz der Multiplikation (Kommutativgesetz)
| Beispiel: | 7 · 4 = 4 · 7 | Das Vertauschungsgesetz gilt nicht für die Division: |
| allgemein: | a · b = b · a | 12 : 4 ¹ 4 : 12, denn 3 ¹ 1/3! |
Das Zusammenfassungsgesetz der Multiplikation (Assoziativgesetz)
| Beispiel: | (3 · 4) · 5 = 3 · (4 · 5) | Das Zusammenfassungsgesetz gilt nicht für die Division: |
| allgemein: | (a · b) · c = a · (b · c) | (36 : 6) : 2 ¹ 36 : (6 : 2), denn 3 ¹ 12 |
| Merke für die Punktoperationen: - Kommen in einem Term (Rechenausdruck) nur Punktoperationen vor, so werden sie von links nach rechts ausgeführt. - Klammern geben an, was zuerst gerechnet werden muss. - Umordnen von Gliedern kann Rechenvorteile bringen! - Das Operationszeichen links der Zahl muss beim Umordnen mitgenommen werden. Punktoperationen sind vor Strichoperationen auszuführen. |
Besondere Faktoren und Divisoren
Der Faktor 1 1 · a = a · 1 = a
Der Faktor 0 0 · a = a · 0 = 0
a · b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 Wenn ein Produkt 0 ist, dann ist mindestens einer der Faktoren 0.
Der Divisor 1 a : 1 = a
Der Divisor 0
Beispiel:
17 : 0 = x ⇒ x·0 = 17 Es gibt aber keine Zahl x, die mit 0 multipliziert das Produkt 0 liefert!
Beachte: Die Division durch 0 ist nicht definiert und deshalb verboten!
Potenzierung
“4 mit 3 potenzieren” (4 hoch 3)
| 43 Basis hoch Exponent | = | 4·4·4 | =gleich | 40 (ausgerechnete) Potenz |
Die Operation heißt Potenzierung. Der Term (Rechenausdruck) “43” heißt Quotient.
Große Zahlen
Zahlenwörter für große Zahlen:
Tausender → Millionen → Milliarden → Billionen → Billiarden → Trillionen → Trilliarden → Quadrillion
Primzahlen
Eine Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler hat, heißt Primzahl.
Jede Primzahl ist also nur durch 1 und sich selbst teilbar!
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Primfaktordarstellung:
Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.
Beispiel: 20 = 22·5
Quadratzahlen
Quadratzahlen sind Potenzen mit 2 als Exponent. z. B.: 32= 9
Die Quadratzahlen der Zahlen bis 20 gehören zum Grundwissen
Runden
In manchen Situationen ist es unnötig, eine Zahl genau anzugeben, z.B. bei großen Entfernungen oder großen Mengen. Meistens sind ungefähre Zahlen sogar übersichtlicher.
Regel:
Wenn hinter der Stelle, auf die man runden will, die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 stehen, dann wird die Zahl abgerundet.
Steht hinter der zu rundenden Stelle aber eine 5, 6, 7, 8, 9, dann wird die Zahl aufgerundet.
Rechengesetze
| Klammern zuerst (von innen nach außen) |
| Potenz vor Punkt vor Strich |
| Kommutativgesetz (KG) a+b = b+a ab = ba |
| Assoziativgesetz (AG) (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc) |
| Potenzen: 3·3·3·3 = 34 3 heißt Basis, 4 heißt Exponent |
Klammern
Addition und Subtraktion mit Klammern: Klammern auflösen
Plusklammer
Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer weggelassen werden:
a + (b + c) = a + b + c
a + (b - c) = a + b - c
Minusklammer
Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so kann die Klammer nur dannweggelassen werden, wenn ein Pluszeichen in der Klammer durch ein Minuszeichen, ein Minuszeichen durch ein Pluszeichen ersetzt wird:
a - (b + c) = a - b - c
a - (b - c) = a - b + c
Multiplikation und Division mit Klammern: Klammern auflösen
Steht vor einer Klammer ein Multiplikationszeichen, so kann die Klammer weggelassen werden:
a · (b · c) = a · b · c
a · (b : c) = a · b : c
Steht vor einer Klammer ein Divisionszeichen, so kann die Klammer nur dann weggelassen werden, wenn ein Multiplikationszeichen in der Klammer durch ein Divisionszeichen, ein Divisionszeichen durch ein Multiplikationszeichen ersetzt wird:
a : (b · c) = a : b : c
a : (b : c) = a : b · c
Beachte: Verschachtelte Klammern von innen nach außen auflösen!
Beispiel:
12a - (3a - 2b -(4b + 4) + a)
= 12a - (3a - 2b - 4b - 4 + a)
= 12a - 3a + 2b + 4b + 4 - a)
= 8a+6b+4
Terme
Was ist ein Term?
1. Jede Zahl und jede Variable für eine Zahl ist ein Term.
Beispiele: 3, 0, a, b, x, ggT(24,72)
2. Werden Terme addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert oder potenziert, so erhält man wieder einen Term.
Beispiele: a + 7, 3 - c, xy, 3 : e, x² , 3(a + b), (4c:3 - d) : (ab + c²)³
Termumformungen
| Zusammenfassen: | 14a - 3b - 8a + 7b - 3 = 6a + 4b - 3 |
| Klammern auflösen: | a - (b - c + d) = a - b + c - da : ( e · f ) = a : e : f |
| Ausmultiplizieren: | 7(a + 2b) = 7a + 14b |
| Ausklammern: | 12ab - 16a = 4a(3b - 4) |
Addition und Subtraktion mit Variablen
Nur "gleichartige" algebraische Terme, d.h. Vielfache desselben Terms können durch Addition oder Subtraktion zusammengefasst werden.
Beispiele für "gleichartige" Terme:
7e, 3e, e / 5r, 3r, r, 6r / 3x2, x2, 12x2 / 3ab, 4ab, ab
Beispiele für "verschiedenartige" Terme:
5a, 3b, 3 / x, 5y, 3b, 13 / 3c, 2c2, c3 / 3ab, 4a2b, ab2
Beispiele:
c + c + c = 3 ·c = 3c (Das Mal-Zeichen zwischen Zahl und Variable kann weggelassen werden!)
3x - 2x = 1·x = x (Der Faktor 1 wird nicht geschrieben)
a + a + a + b + b = 3a + 2b (Die Variablen werden in alphabetischer Reihenfolge zusammengefasst.)*
9 + 7x + 5x = 12x + 9 (Reine Zahlen werden am Schluss geschrieben)* (*allgemein üblich)
3ab + 7a = (nicht zusammenfassbar)
3ab + 7ab = 10ab
12x2y - 4x2y + 5 = 8x2y + 5
Multiplikation und Division mit Variablen
3 · a = 3a Das Malzeichen zwischen Zahl und Variable wird weggelassen
a · b = ab Das Malzeichen zwischen zwei Variablen wird weggelassen
3a · 4b = 12ab
12a : 3 = 4a , denn 4a · 3 = 12a
30x : (5x) = 6 , denn 6 · 5x = 30x
Gleichungen
Sind T1 und T2 Terme, so heißt T1 = T2 eine Gleichung.
Gleichungen ohne Variable bilden wahre oder falsche Aussagen:
| 3 · 5 = 8 + 7 (wahre Aussage) | 56+23 = 3(23 + 45) (falsche Aussage) |
Gleichungen mit einer Variablen
Sie können nach der Variablen aufgelöst werden, d.h. wir suchen eine Zahl für die Variable
(= Lösung), so dass eine wahre Aussage entsteht.
| 5 + x = 24 - 9 | x = 10 , denn 5 + 10 = 15 | |
| 3y = -48 | y = -16 , denn 3 · (-16) = -48 |
Umformungsregeln zum Lösen einer Gleichung mit einer Variablen
- Um die gesuchte Zahl x (Lösungsvariable) zu bestimmen, multiplizieren oder dividieren wir beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl, so dass die Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu stehen kommt.
| x : 7 = 9 //·7 | 8x = 72 //:8 |
| x = 63 | x = 9 |
- Um die gesuchte Zahl x (Lösungsvariable) zu bestimmen, addieren oder subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl, so dass die Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu stehen kommt.
| x - 7 = 9 //+7 | x + 12 = 100 //-12 |
| x = 16 | x = 88 |
- Um das Vielfache der Variablen "auf eine Seite der Gleichung zu bringen", addieren oder subtrahieren wir das Vielfache der Variablen auf beiden Seiten der Gleichung.
| 7x = 45 - 2x //+2x | 12x = 5x + 84 //-5x |
| 9x = 45 | 7x = 84 |
Beispiel für das Lösen einer Gleichung:
| 13x + 17 - (6x + 5) = 5x + 3(9 - x) | Klammern auflösen, Ausmultiplizieren |
| 13x + 17 - 6x - 5 = 5x + 27 - 3x | Zusammenfassen |
| 7x + 12 = 2x + 27 | // -2x |
| 5x + 12 = 27 | // -12 |
| 5x = 15 | // :5 |
| x = 3 |
Zahlenstrahl
An einem Zahlenstrahl lässt sich die Reihenfolge und die Anordnung der Zahlen veranschaulichen.
Um einen Zahlenstrahl zu anzufertigen, zeichnest du eine Achse mit Pfeil und trägst anschließend die Skala ein.
- Der Pfeil zeigt an, in welcher Richtung die Zahlen größer werden.
- Für die Skala wird die Achse zuerst am linken Endpunkt markiert und dann in immer gleichen Abständen. Anschließend werden die Markierungen beschriftet. Die Skala beginnt links mit der Null und setzt sich dann in gleichmäßigen Schritten fort. Das können z.B. Einerschritte, Zehnerschritte, Fünfzigerschritte usw. sein.
Bei der Skala musst du dich für eine Schrittlänge entscheiden, denn:
| Zahlen, die sich um denselben Wert unterscheiden, liegenauf dem Zahlenstrahl gleich weit voneinander entfernt. |
Beispiele:
Du brauchst nicht jede Markierung zu beschriften, sondern z.B. nur jede zweite oder jede zwanzigste:
Zehner, Hunderter, Tausender usw. können übrigens auf dem Zahlenstrahl durch besonders lange Markierungen hervorgehoben werden:
Zehner, Hunderter, Tausender usw. können übrigens auf dem Zahlenstrahl durch besonders lange Markierungen hervorgehoben werden:
In manchen Mathebüchern findest du auch diese Darstellungsweise:
