Binomische Formeln
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b) ∙ (a - b) = a² - b²
Die praktische Bedeutung besteht im Faktorisieren!
Beispiele:
Quadratische Gleichungen lösen
Gleichungen der Art ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 heißen quadratische Gleichungen.
D = b² - 4ac heißt Diskriminante.
D < 0 ⇒ es gibt keine Lösung der Gleichung
D = 0 ⇒ es gibt genau eine Lösung
D > 0 ⇒ es gibt zwei Lösungen:
Beispiel:
In folgenden Sonderfällen ist es nicht sinnvoll, die Lösungsformel zu verwenden:
1. b = 0 d.h. a x² + c = 0
In diesem Fall lässt sich die quadratische Gleichung in die reinquadratische Form x² = d bringen.
Beispiel:
3x2-9=0 x2=3 x1,2=3
2. c = 0 d.h. a x² + b x = 0
Wir klammern ax aus und erhalten ax x+ba=0.
Beispiel:
4x2+12x=0 4xx+3=0 x1=0 ; x2=-3
3. x² + px + q = 0 mit p, q ϵ ℤ
Wenn es rationale Lösungen gibt, dann sind diese ganzzahlig und wir finden sie durch
Probieren, weil (x - m) ∙ (x - n) = x² - (m + n) ∙ x + m ∙ n
Beispiele:
Quadratische Funktionen
Funktionen der Form
heißen quadratische Funktionen; ihre Graphen nennt man Parabeln.
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet
a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet
|a| < 1: Die Parabel ist weiter als die Normalparabel
|a| > 1: Die Parabel ist enger als die Normalparabel
Jede quadratische Funktion
lässt sich durch quadratische Ergänzung auf die Scheitelpunktform
mit Scheitelpunkt: S( -d / e )
bringen.
Normalparabel
Die Normalparabel hat die Funktionsgleichung:
f:xx2
| Grundform und Grundeigenschaften aller Graphen von quadratischen Funktionen kann man am Graph dieser 'einfachsten' quadratischen Funktion, der Normalparabel erkennen: Der Graph • ist krummlinig[hier: steil fallend→flach fallend→flach steigend→stark steigend] • hat genau einen Scheitelpunkt[hier:der Punkt (0/0) ist tiefster Punkt] • ist symmetrisch zur Senkrechten durchden Scheitelpunkt[hier: symmetrisch zur y-Achse] |  |
Stauchung, Streckung und Spiegelung an der x-Achse
| Je nach Wahl des Faktors vor dem x² wird der Graph der Normalparabel folgendermaßen verändert: • -1 < Faktor < 1: Der Graph ist gestaucht, d.h.: Der Graph ist “flacher” und “breiter” als der Graph der Normalparabel. Beispiele hier: f1, f2. • Faktor < 0: Spiegelung an der x-Achse. z.B.: Der Graph von f2 ist der an der x-Achse gespiegelte Graph von f1. • Faktor < -1 oder Faktor > 1: Der Graph ist gestreckt, d.h.er ist “steiler” und ”schmaler” als der Graph der Normalparabel. Beispiel hier: f3 . |  f1:x14x2f2:x-14x2f3:x4x2 |
Verschiebungen in y- Richtung und in x- Richtung
| Wird nach dem Quadrieren von x eine Zahl addiert [oder subtrahiert], so wird der Graph der Normalparabel um den Wert dieser Zahl nach oben [unten] verschoben, denn alle Quadrate werden um den Wert dieser Zahl größer [kleiner]. Wird nach dem Quadrieren von x eine Zahl addiert [oder subtrahiert], so wird der Graph der Normalparabel um den Wert dieser Zahl nach oben [unten] verschoben, denn alle Quadrate werden um den Wert dieser Zahl größer [kleiner].Die Verschiebung in x-Richtung erkennt man nicht direkt aus der [rechten] ausmultiplizierten Form des Terms . |  f1:xx2+3 f2:xx2-4 f3:xx-52=x2-10x+25 |
Scheitelpunktform
Die Scheitelpunktform
f(x) = a⋅(x + s)² + t ; a, s, t ∈ℝ a≠0
Liegt der Funktionsterm in Scheitelpunktform vor, so kann man direkt ablesen:
1. die Verschiebung der Normalparabel in x- Richtung um -s und in y- Richtung um +t.
damit ergeben sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S: S(-s,t)
2. Stauchung, Streckung und Spiegelung an der x-Achse (je nach Wert des Faktors a)
3. die Art des Scheitelpunktes ( a>0: Hochpunkt, a< 0: Tiefpunkt)
indirekt ergibt sich daraus
4. die Anzahl und Art der Nullstellen (x-Wert(e) mit dem y-Wert 0):
- eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt,
der Graph schneidet die x-Achse nicht, sondern die x-Achse wird berührt, - zwei Nullstellen, wenn der SP oberhalb [unterhalb] der x-Achse liegt und ein HP [TP] ist,
der Graph schneidet die x-Achse zweimal. - keine Nullstelle sonst,
Beispiele:
1) f(x) = −2(x - 3)² + 4 S(3/4) ist Hochpunkt, Graph ist gestreckt, es gibt 2 Nullstellen.
2) f(x) = 0,5(x + 2)² S(-2/4) ist Tiefpunkt, Graph ist gestaucht, es gibt 1 Nullstelle.
3) f(x) = −x² − 5 S(0/-5) ist Hochpunkt, Graph ist wie Normalparabel,
es gibt keine Nullstellen.
Polynomform
Die Polynomform lautet: f(x) = ax² + bx + c
Liegt der Funktionsterm in Polynomform vor, so kann man direkt ablesen:
1. Stauchung, Streckung und Spiegelung an der x-Achse (je nach Wert des Faktors a)
2. die Art des Scheitelpunktes ( a>0: Hochpunkt, a< 0: Tiefpunkt)
3. den y-Achsenabschnitt (y-Wert zum x-Wert 0) : Bei y=c wird die y-Achse geschnitten.
Da jede Polynomform mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umgewandelt werden kann, kann man indirekt auch erschließen:
4. den x-Wert des Scheitelpunktes: -b2a
Beispiele:
1) f(x) = −2x² + 12x - 14 gespiegelt und gestreckt, S ist Hochpunkt.
y-Achsenabschnitt : -14 , Scheitelpunkt an der Stelle x =+3
2) fx=12x2+2x+2 gestaucht, S ist Tiefpunkt , y-Achsenabschnitt: +2,
Scheitelpunkt an der Stelle x =- 2.
Nullstellen von quadratischen Funktionen
Von besonderem Interesse sind stets die Nullstellen von Funktionen. Aus der Polynomform lässt sich nur sehr schwer oder nur in besonders einfachen Fällen etwas über die Anzahl und die Art der Nullstellen direkt ablesen. auch aus der Scheitelpunktform lassen sich die Nullstellen nicht direkt ablesen. Die Nullstellen müssen berechnet werden. (mit der Mitternachtsformel bzw. p-q-Formel)
Allgemein kann hier über Nullstellen von quadratischen Funktionen aber festgehalten werden:
Satz:
Quadratische Funktionen haben
entweder keine Nullstelle
oder eine Nullstelle: das ist der x-Wert des Scheitelpunktes, das bedeutet:
der Graph berührt die x-Achse in der Nullstelle/im Scheitelpunkt
oder zwei Nullstellen: das bedeutet: der Graph schneidet die x-Achse zweimal,
die Nullstellen liegen symmetrisch zum x-Wert des Scheitelpunktes.
Weitere Beispiele für quadratische Funktionen:
Berechnungen zu f4:
