Die Regeln zur Teilbarkeit von Zahlen zeigen uns, wie wir Zahlen teilen können, ohne dass etwas übrig bleibt. Stell dir vor, du hast ein paar Freunde zu Besuch und möchtest Kekse gerecht aufteilen. Die Teilbarkeit hilft dir herauszufinden, ob das möglich ist, ohne dass du Kekse zerbrechen musst.
Je besser du die Regeln zur Teilbarkeit beherrschst, umso leichter wird es dir fallen bei Themen der höheren Klassenstufen, wie Brüchen, Faktoren und Vielfachen auch knifflige Aufgaben zu lösen.
Diese Teilbarkeitsregeln solltest du kennen:
- Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
- Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme (Summe aller Ziffern der Zahl) durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 4 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer entweder 0 oder 5 ist.
- Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Ziffern durch 9 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie mit 0 endet.
Es gibt noch ein paar weitere Dinge, die du in dieser Unterrichtseinheit lernst, beispielsweise den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die Faktor der gegebenen Zahlen ist. Mit anderen Worten, es ist die größte Zahl, die sowohl in die eine als auch in die andere Zahl passt.
Ein Beispiel für einen größten gemeinsamen Teiler (ggT) ist der ggT von 12 und 16. Um den ggT zu finden, zerlegen wir zunächst beide Zahlen in ihre Primfaktoren:
12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3
16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
Jetzt suchen wir die gemeinsamen Primfaktoren und multiplizieren sie:
2 ⋅ 2 = 4
Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 16 ist also 4, weil 4 die größte Zahl ist, die sowohl 12 als auch 16 ohne Rest teilt.
Den größte gemeinsame Teiler benötigst du, um Bruchaufgaben zu vereinfachen oder Probleme zu lösen, bei denen es darum geht, Dinge gerecht aufzuteilen oder gemeinsame Faktoren zu finden.
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die ein gemeinsames Vielfaches von zwei oder mehr Zahlen ist. Anders gesagt, es ist die kleinste Zahl ist, die durch alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.
Als Beispiel berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 4 und 6. Um das kgV zu finden, kann man die Primfaktorzerlegungsmethode oder die Formel mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) verwenden. Wir benutzen die Formel:
kgV(a, b) = (a ⋅ b) / ggT(a, b)
Zuerst berechnen wir den ggT von 4 und 6:
4 = 2 ⋅ 2
6 = 2 ⋅ 3
Der gemeinsame Primfaktor ist 2. Daher ist der ggT von 4 und 6 gleich 2.
Nun verwenden wir die Formel, um das kgV zu berechnen:
kgV(4, 6) = (4 * 6) / 2 = 24 / 2 = 12
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist also 12, weil 12 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 4 als auch durch 6 ohne Rest teilbar ist.
Das Lernthema Teilbarkeit bereitet dich auf das Rechnen mit Bruchzahlen vor. Deshalb solltest du ein Gefühl dafür entwickeln, aus welchen Faktoren Zahlen bestehen. Wenn du also beispielsweise im Gefühl hast, dass die Zahl 12 irgendwie mit der 4, der 3 und der 2 zusammenhängt, wird das dir im Laufe deiner Schullaufbahn bei vielen Mathematikaufgaben helfen.